Как мне оформить вторую половину квартиры, прошло 13 лет со дня смерти бабушки, с которой я и жил в этой квартире.

Если вы наследник первой очереди по закону по праву представления (то есть ваш отец/мать- сын/дочь вашей бабушки и умер ранее нее) и приняли наследство в срок фактически, идете к нотариусу об этом сказать и просите выдать вам свидетельство о праве на наследство, на основании которого зарегите в собственность себе в егрн бабушкину долю в праве.
---
читаете это
"методические рекомендации по оформлению наследственных прав" (утв. правлением фнп 28.02.2006)
фактическое принятие наследства
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_law_71348/7ca8676cc885bd3bc5093d9424bef8e36c2f5e59/
п. 37, какие действия свидетельствуют о фактич. принятии наследства
и какие документы.
подготовите и придете с ними к нотариусу.
-----------
вы приняли фактически наследств в срок- в течение 6 мес. с даты открытия наследства, ибо проживали (зарегены) в одном жилом помещении с наследодатеелм и там же живете после.
заботились о сохранении имущества. оплачивали содержание и комм. услуги.
не нужны вам никакие уважительные или др. причины "почему вы не дошли до нотариуса".
вы еще и нотариал. госпошлину платить не будете- льгота, поскольку вместе проживали.
свидет. о праве на наследство можно получить через 6 мес. с даты открытия наследства и огранич. срока- нет. хоть через 15 лет приходить можно.