Наследство по завещанию

Здравствуйте. У меня умер отец,я являюсь наследником по завещанию,но фамилия моя числится с рождения по матери,в графе отец в свидетельстве о рождении стоит прочерк,так как родители жили в гражданском браке и зарегистрировали свой брак,только когда мне было 35 лет.В завещании указано что отец завещает квартиру сыну,то есть мне,с указанием моей фамилии по матери.Нотариус по месту жительства,сказала,что нужно доказывать родство и что он действительно является моим отцом.Нужно ли это делать?Либо оформление наследства будит проходить в соответствии наследования по закону!!И ещё вопрос по поводу налога на это наследство по завещанию,должен ли я его платить если до смерти отца проживал с ним вместе в этой квартире и тут прописан вместе со своей семьёй?И как исчисляется налог?
Буду благодарен за ответ!!