Может ли отец написать завещание на сына долю в частном доме без регистрации этой доли?

Писать завещание - ради Бога. При этом нотариус не проверяет ничего, кроме паспорта завещателя. Кстати, сын и без завещания наследует отцу. Но потом, когда завещатель умрёт, наследнику (если завещатель при жизни не зарегистрирует своё право собственника) придётся судиться о включении завещанной ему недвижимости в наследственную массу.