Как оформить завещание, если у папы другая фамилия?

К нотариусу идет и пишет на вас завещание, если хочет,
указывает там ваше фио и пасп. данные.
дочерью вас в завещании не называет, потому что по докам вы не дочь ему.
как наследник по завещанию и примете наследство.
разница: дочь - наследник или нет, имеет значение только в контексте госпошлины,
у близких родственником она немного меньше, чем у др. наследников.
----------------------
нет никакой "другой фамилии у папы". у папы его фамилия.
а у вас- фамилия вашей матери, какой она была у матери на дату оформлю. свидет. о вашем рождении.

нк рф статья 333.24. размеры государственной пошлины за совершение нотариальных действий
1. за совершение нотариальных действий нотариусами государственных нотариальных контор и (или) должностными лицами органов исполнительной власти, органов местного самоуправления, уполномоченными в соответствии с законодательными актами российской федерации и (или) законодательными актами субъектов российской федерации на совершение нотариальных действий, государственная пошлина уплачивается в следующих размерах:
..
22) за выдачу свидетельства о праве на наследство по закону и по завещанию:
детям, в том числе усыновленным, супругу, родителям, полнородным братьям и сестрам наследодателя - 0,3 процента стоимости наследуемого имущества, но не более 100 000 рублей;
другим наследникам - 0,6 процента стоимости наследуемого имущества, но не более 1 000 000 рублей;
...
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_law_28165/a3cd0bcff028f127a00fa0aa61842f4ff13ffafb/
-------------------
ничего там не напутали ваши родители или загс.
просто ваша мать с этим ильиным в браке не состояла (или менее 300 дней не прошло после развода), и добровольно он не пошел с ней подать заяву о том, что он ваш отец - в загс, поэтому вариантов было два.
только мать в свид. о рождении вашем, а на месте отца- прочерк.
или на месте отца- фамилия матери, а имя и отчество- со слов матери.