Завещание бабушка составила на меня, а моя мать претендует на квартиру, так как она является родной дочерью ?

Если квартиру (или все имущество) бабушка завещала вам, то это имущество вам и перейдет в порядке наследования. однако, нетрудоспособные дети наследодателя имеют право на обязательную долю - не менее половины от того, что им причиталось бы при наследовании по закону.
таким образом, если ваша мать нетрудоспособна, то есть если она достигла пенсионного возраста или является инвалидом, то имеет право наследовать квартиру, несмотря на завещание. если она единственная наследница по закону, то ее обязательная доля составит как раз 1/2.
если же она не инвалид и не достигла пенсионного возраста (55 лет), то обязательной доли у нее нет.