Что будет с квартирой?

Зачем "вступать через суд"?
это вам сказал кто-то, что только так можно, или вы сами "сообразили"?
наследство принять надо по закону в течение 6 мес. с даты открытия нследства- это срок принятия наследства. если кто срок пропустил, то восстановить срок принятия можно в суде при нличии уважител. причин.
но!
нследство принимают заявлением нотариусу и фактически (!).
если вы в течение 6 мес не подали заяву нотариусу о принятии наследства, это не означает, что вы его не приняли и пропустили срок принятия наследства, и теперь только в суде срок восстановить.
вы вполне могли принять наследство фактически, и полагаю, сделали это.
вы совместно с матерью проживали, были зарегены в одном жилом помещении. доля в кот. входит в наследств .массу матери. вы заботились о сохранности имущества, платили жилищ. и коммун. услуги за квартиру.
смотрите сюда:
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_law_71348/7ca8676cc885bd3bc5093d9424bef8e36c2f5e59/
фактическое принятие наследства
37. о фактическом принятии наследства свидетельствуют следующие действия наследника (п. 2 ст. 1153 гк рф):
....
документами, свидетельствующими о фактическом принятии наследства, признаются:
....
----------
т. е вы идете наконец к нотариусу и не говорите со всей дури, что в "наследство вовремя я не вступила", а говорите, что я приняла наследство фактически в срок, вот доки, кот. об этом свидетельствуют, прошу выдать свидетльство о праве на наследство.
поскольку вы с наследодателем вместе проживали (зрегены) в жилом помещении, доля в кот. входит в наследств. массу, то у вас льгота- освобождение от нотар. госпошлины за свидет. о праве на наследство, только правовую и техработу нотариуса оплатите.
-----------------
гк рф статья 1175. ответственность наследников по долгам наследодателя
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_law_34154/b893c4afcd52c1d6ae960ff4fb38a0c10a167521/
будете по требованию кредитора платить долг наследодателя как наследник, принявший наследство.