Вступаем в наследство. за квартиру пока что не платили (год), чем это чревато и обязательно ли платить прямо сейчас?

Как вариант - взыскание с должников (наследников, вступивших в права наследования) всех долгов по квартплате, в том числе и в судебном порядке. Так как вы приняли наследство, теперь отвечаете перед кредиторами.