По закону, со смертью алиментщика алименты прекращаются. а если на момент смерти у него еще были большие долги,

Читаем, делаем выводы:

гк рф статья 1112. наследство
 
в состав наследства входят принадлежавшие наследодателю на день открытия наследства вещи, иное имущество, в том числе имущественные права и обязанности.

не входят в состав наследства права и обязанности, неразрывно связанные с личностью наследодателя, в частности право на алименты, право на возмещение вреда, причиненного жизни или здоровью гражданина, а также права и обязанности, переход которых в порядке наследования не допускается настоящим кодексом или другими законами.

не входят в состав наследства личные неимущественные права и другие нематериальные блага.