Получил часть дома в наследство с большим долгом за коммунальные услуги.

Оплата за воду производится или по счетчику, или по нормативу (при отсутствии ипу). если в доме нет ипу, то норматив умножают на число зарегистрированных по адресу. надо проверять. водоканал иногда требует доплату за полив в частном секторе, но это незаконно. эту сумму можно потребовать убрать. срок исковой давности 3 года, если долги расчитаны за больший период, то они не подлежат взысканию.
вы будете оплачивать 1/3 долга (согласно доле наследства), т. к. наследуются не только имущество, но и обязательства.