Могут ли у меня отсудить хотя бы часть квартиры?

Не может! наследуют только то имущество. которое было у наследодателя (двоюродной бабушки) ко дню его смерти! это не значит, что написав завещание на дочь, мат не имела право при жизни распорядиться домом.
право имела в силу ст. 209 гк рф.

собственником квартиры ко дню смерти она не являлась, значит наследовать невозможно. есть другое имущество, пусть наследует. живите спокойно!