Какие права у меня останутся, если, после ее смерти, родственник решит продать дом?

Тетя не может быть владельцем дома т. к. он не приватизирован. ( с ваших слов)
если жилье не приватизировано то оно (жилье) принадлежит городу/муниципалитету и сдается вам в найм по договору.
вы наниматели жилья, но не его собственники и распоряжаться чужим имуществом не можете в т. ч. завещать, продавать, дарить и т. д.

если все же тетя собственник, то может распоряжаться своей собственностью так как ей заблагорассудиться. может продать родственнику, а может и не родственнику, может завещать или дарить.

вот у вас как не было прав на дом при жизни тети, так их и не появится в случае если завещание будет написано на иного родственника.