У меня умер родственник, должна ли я оплачивать его долг по кредиту?

Принятие наследства не может быть частичным. взяли хоть что-то от умершего - значит приняли наследство, в том числе и долг. прописки сейчас нет, но есть регистрация по месту жительства. вы зарегистрированы по месту жительства умершего, по логике банка - пользуетесь его имуществом, то есть приняли наследство.
здесь два варианта: 1. вы нарушаете закон и не регистрируетесь там, где фактически проживаете (это для вас наиболее приемлемый вариант)
2. вы проживали совместно с умершим при его жизни и проживаете сейчас в этой квартире, то есть приняли наследство.
вот откуда претензии банка.