Обязана ли моя мама выплатить деньги от доли квартиры отца моей сестре?

Никакой это не раздел.
сначала наследники по завещанию или по закону принимают наследство
что у вас там? есть завещание? если нет. кто наследники первой очереди по закону?
почему вы упоминаете мать умершего и его двоих детей: вас и вашу сестру? у него нет отца в живых, он в браке не состоял на дату смерти? у него нет др. детей, и нет внуков от его умерших детей?
что входит в наследственную массу отца вообще. и входит ли эта трешка. упоминаемая вами в вопросе в наследственную массу отца, или только доля в этой трешке входит в нследственную массу отца? какая именно доля?
наследники могут и отказаться принимать наследство вообще.
а могут по ст. 1158 гк рф отказаться пользу др. лиц.
т. е. мать умершего может отказаться в пользу дочери умершего- вашей старшей сестры.
а вы- принимайте наследство.
вы не обязаны никому ничего дарить, платить деньги, делить с кем- то свою долю наследства
вообще непонятно о чем это вы пишите:
"теперь сестра хочет получить деньги за доли в нашей с мамой (трёхкомнатной) квартире. я -несовершеннолетняя и не имею возможности выплатить столь большую сумму, это примерно 350 тысяч рублей."
сначала все должны принять наследство. потом могут соглашение о разделе насл. заключить- что кому. чтобы не крошить имущество наприер. но если хотят.
допустим сестре вашей. кот. получили по наследству в собсвтенность долю в этой трешке. эта доля не нужна для использования по назначению для проживания. и она хотела бы продать.
ее право.
у вас. конечно как у сособственника есть преимущественное право выкупа по ст. 250 гк рф, но сделки несоверш. с близкими родственниками запрещены законом (ч. 3 ст. 60 ск рф и ч. 3 ст. 37 гк рф), да у вас и денег нет.
поэтому ваша мать, если тоже имеет долю в этой же квартире- имеет преимуществ. право выкупа доли сособственника- может выкупить долю дочери.
выкупная цена. согласовывается сторонами в договоре.
-------------------
гк рф статья 1165. раздел наследства по соглашению между наследниками
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_law_34154/591a8b9766a57a64b8a363b27fed3ba703690d7b/
если есть др имущество, вход. наслед. массу, наследники могут соглашением разделить.
например входила доля отца в трешке, машина, деньги. иные вещи, могли бы соглашением долю вам, ибо вы заинтересованы в использовании по назначению и проживаете, а машину и деньги- старш. сестре.